यदि left( A - frac{I}{2} right) और left( A + | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ लंबकोणीय आव्यूह हैं।$\left( A - \frac{I}{2} \right)$ के लंबकोण

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$A$ सम कोटि का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\left( A - \frac{I}{2} ight)$ और $\left( A + \frac{I}{2} ight)$ लंबकोणीय आव्यूह हैं।$\left( A - \frac{I}{2} ight)$ के लंबकोणीय होने के लिए:$\left( A - \frac{I}{2} ight) \left( A^T - \frac{I}{2} ight) = I$$AA^T - \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$  .......$(1)$$\left( A + \frac{I}{2} ight)$ के लंबकोणीय होने के लिए:$\left( A + \frac{I}{2} ight) \left( A^T + \frac{I}{2} ight) = I$$AA^T + \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$  .......$(2)$$(2) - (1)$ करने पर:$A + A^T = 0 \Rightarrow A^T = -A$,अर्थात $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।$(1) + (2)$ करने पर:$2AA^T = \frac{6}{4}I \Rightarrow AA^T = \frac{3}{4}I$सारणिक लेने पर,$|A|^2 = (\frac{3}{4})^n$। यदि $n$ विषम है तो $|A|=0$ होगा,लेकिन यहाँ $|A| 
eq 0$ है,इसलिए $n$ को सम होना चाहिए। अतः $A$ सम कोटि का विषम-सममित आव्यूह है।

यदि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ दोनों लंबकोणीय आव्यूह (orthogonal matrices) हैं,तो:

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यदि $A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{bmatrix}$ और $A A^T = I$ है,तो $p^3 + q^3 + r^3 =$ . . . . . .

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